トポロジカルデータ解析 (TDA) と材料設計への応用

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本セミナーでは、近年、様々な分野で活用が広がるトポロジカルデータ解析 (位相的データ解析:TDA) について取り上げ、解決できる課題、ホモロジーの考え方、パーシステントホモロジー、パーシステント図の読み方、適用例 (アモルファス材料・高分子メルト) など、基礎・手法・応用について分かりやすく解説します。

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近年、トポロジカルデータ解析 (TDA) やパーシステントホモロジー (PH) は、材料構造解析・画像解析・分子シミュレーションなど多様なデータに対して従来手法では抽出が難しい“形の特徴量”を定量化できるとして注目されています。一方で「数学が難しそう」という印象から導入判断が進まないケースも少なくありません。  本セミナーでは、数学的抽象表現を極力抑え、材料研究で本当に役立つ視点に絞ってTDA/PHの最小限の基礎を解説します。  まず、なぜTDAが必要になるのか (閾値依存・マルチスケール・“できる/できない”の視点) を共有し、次にホモロジーの直感、PHの考え方、パーシステンス図の読み方を実例ベースで丁寧に紐解きます。最後に、結晶・液体・アモルファス・高分子の構造解析から、反応経路のような関数データへの展開まで、材料設計・手法選定につながる適用シナリオを具体的に示します。実行者には実装の基礎を、意思決定者には判断材料を提供する構成です。

  1. 物質科学を意識したTDAが必要になる理由
    1. トポロジカルデータ解析の特徴
    2. 物質科学・データ科学との関係性
    3. TDAが解決する課題の典型例
  2. 非数学者向け「ホモロジーの最小限の考え方」
    1. ホモロジーが扱う対象 (連結・リング・空隙)
    2. ホモロジーのアイデア (境界とサイクルの直感)
    3. 穴を定義するための材料 (パーツ) :単体・単体複体
    4. 穴を何とみなすか?のルール (ベッチ数/“境界の境界=0”)
  3. PHの基本アイデアと読み取り方
    1. 対象2種:ポイントクラウド/スカラー関数 (グレイスケール画像など)
    2. PHの考え方:フィルトレーション/生誕 (birth) と死滅 (death)
    3. パーシステンス図 (PD) の読み取り
      • 対角線距離
      • 階層性
      • ノイズ
    4. PDの特徴:幾何学的拘束、多体分布の視点、ヒストグラム化
  4. 材料・化学への応用例
    1. 材料構造の典型例 (結晶・液体・気体) のPD (ポイントクラウド)
    2. アモルファス材料への適用 (ポイントクラウド)
    3. 高分子メルトへの適用 (ポイントクラウド)
    4. 化学反応経路図への応用 (関数PH)

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