入門ウェーブレット解析

信号の時間的な周波数の変化を捉える手法を時間周波数解析手法とよびます。本セミナーでは、時間周波数解析手法であるウェーブレット解析の全体像を見通しよく概観することを目的とします。ウェーブレット変換には、連続ウェーブレット変換と離散ウェーブレット変換の2種類が存在します。連続ウェーブレット変換はフーリエ解析における短時間フーリエ変換に類似する手法です。一方で、離散フーリエ変換がフーリエ変換の離散化版であることに対して、離散ウェーブレット変換は連続ウェーブレット変換の単なる離散化に留まりません。離散ウェーブレット変換は信号処理におけるフィルタ処理によって実現されますが、その構造はマルチレート信号処理のフィルタバンクと密接な関係があります。 　本セミナーでは、初学者にもわかりやすいよう、まずは前半パートで連続ウェーブレット変換と離散ウェーブレット変換の直感的な説明を行い、音声・画像処理への応用例を示すことで、ウェーブレット解析の全体像を理解します。ベクトル空間やフーリエ解析についても一から簡単に説明を行うので、特別な知識なしでも受講できるように配慮します。後半パートでは、やや発展的な内容を扱い、離散ウェーブレット変換に関連する話題を掘り下げます。最後に、ウェーブレットの拡張ともいえるフレームの概念について紹介し、具体例としてカーブレット変換などの2次元の時間周波数解析手法を紹介します。

1. フーリエ解析
   1. 準備
   2. フーリエ級数
   3. フーリエ変換
   4. 短時間フーリエ変換
   5. 不確定性原理
2. 連続ウェーブレット変換
   1. 連続ウェーブレット変換と逆変換公式
   2. 時間周波数解析
   3. 過渡現象の解析
   4. モーメントと正則性解析
3. 離散ウェーブレット変換
   1. 近似関数とスケーリング関数
   2. ハールのウェーブレット
   3. 多重解像度解析
   4. 分解・再構成アルゴリズム
   5. 音声・画像の信号圧縮とノイズ除去
   6. その他の応用例
4. 離散ウェーブレット変換とフィルタバンク
   1. 完全再構成フィルタバンク
   2. 直交ウェーブレット
   3. ウェーブレット展開
   4. 双直交ウェーブレット
   5. リフティングスキーム
5. フレーム
   1. フレーム理論
   2. 並進フレーム
   3. ガボールフレーム
   4. ウェーブレットフレーム
   5. カーブレット
   6. シアーレット