圧縮センシングの数理的側面

少数の観測データからの信号復元を可能にする信号処理の枠組み「圧縮センシング」に関し、その数理的側面を解説する。 　1 導入では、圧縮センシングが必要とされる問題群を紹介するとともに基本的な数理モデルを導入し、論点を整理する。 　2 信号復元の方法では、厳密解法では計算困難となる信号復元問題を実際的に解決するための代表的な近似解法を紹介する。 　3 性能評価の方法では、性能評価、性能保証のための代表的な数理的方法を紹介する。 　4 発展的な話題では、圧縮センシングに関連して最近研究されている発展的な話題について触れる。

1. 導入
   1. 圧縮センシングとは
   2. 背景1:AD変換と標本化定理
   3. 背景2:信号の統計性と疎表現
2. 信号復元の方法
   1. 1次不定方程式と正則化
   2. 貪欲法
      • OMP
      • IHT
   3. 緩和法
      • Basis Pursuit
      • IRLS
   4. 確率推論
      • AMP
      • EM-BP
3. 性能評価の方法
   1. 初等的な方法1:スパーク
   2. 初等的な方法2:相互コヒーレンス
   3. 発展的な方法1:制限等長性 (RIP)
   4. 発展的な方法2:積分幾何
   5. 発展的な方法3:状態発展法 (State Evolution)
   6. 発展的な方法4:レプリカ法
4. 発展的な話題
   1. ブラインドセンシングと辞書学習
   2. 分散圧縮センシング
   3. 低ランク行列近似
   4. 空間結合による性能改善